例9 如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7,BC=3,三个角的度数:角 B和D是直角,角A是45°.求这个四边形的面积.
解:这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE,切掉一个等腰直角三角形BCE.
因为
A是45°,角D是90°,角E是
180°-45°-90°= 45°,
所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.
四边形ABCD的面积,是这两个等腰直角三角形面积之差,即
7×7÷2-3×3÷2=20.
这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的,这就大错特错了.这样做,角 A是 45°,这一条件还用得上吗?图形上线段相等,两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据,小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角,你应首先考虑等腰直角三角形.
现在我们转向正方形的问题.
例10 在右图 11×15的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?
解:长方形的宽,是“一”与“二”两个正方形的边长之和,长方形的长,是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.
长-宽 =15-11=4
是“三”正方形的边长.
宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和,因此
中间小正方形边长=11-4×2=3.
中间小正方形面积=3×3= 9.
如果把这一图形,画在方格纸上,就一目了然了.
例11 从一块正方形土地中,划出一块宽为1米的长方形土地(见图),剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.
解:剩下的长方形土地,我们已知道
长-宽=1(米).
还知道它的面积是15.75平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?
如果能求出,那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
我们把长和宽拼在一起,如右图.
从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形,如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与宽之和.
可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形,仔细观察一下,就会发现,它的边长,恰好是长方形的长与宽之差,等于1米.
现在,我们就可以算出大正方形面积:
15.75×4+1×1= 64(平方米).
64是8×8,大正方形边长是 8米,也就是说长方形的
长+宽=8(米).
因此
长=(8+1)÷2= 4.5(米).
宽=8-4.5=3.5(米).
那么划出的长方形面积是
4.5×1=4. 5(平方米).
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