下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：

　　甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.

　　例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.

　　1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.

　　例 21 191997被7除余几？

　　解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.

　　先写出一列数

　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，

　　2×2×2×2＝16，….

　　然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：

　　事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）

　　从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.

　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.

　　就知道21997被7除的余数，与21997 被 7除的余数相同，这个余数是4.

　　再看一个稍复杂的例子.

　　例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：

　　0，1，3，8，21，55，….

　　问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？

　　解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：

　　3＝1×3-0，

　　8=3×3-1，

　　21=8×3-3，

　　55=21×3-8，

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